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由DTFT到FFT[Z]  

2014-01-02 22:55:23|  分类: 名詞解釋 |  标签: |举报 |字号 订阅

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数字通信中的几大基础变换:
离散时间傅里叶变换(DTFT,Discrete-time Fourier Transform),
离散傅里叶级数(DFS,Discrete Fourier Series),
离散傅里叶变换(DFT,Discrete Fourier Transform),
快速傅里叶变换(FFT,Fast Fourier Transform)。

傅里叶变换
傅里叶变换解决了一个很根本的问题,它使得时间和频率之间出现了一道桥梁,我们在时域中并不能分析的某些信号,现在可以变换到频域进行分析。
举一个简单的例子,白噪声在时域中呈现如下图的曲线:
由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院

图像看起来并不规则,很难找到什么有意思的地方,但是我们将它变换到频域中,一下子就漂亮了:
由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院

傅里叶变换在我看来就是一个可以将不漂亮的信号变得漂亮的工具,分为连续信号傅里叶变换(不是连续傅里叶变换)和离散傅里叶变换,根据连续信号是否周期在分析时可以选择连续时间傅里叶变换(是连续傅里叶变换)和傅里叶级数

由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院
时域连续傅里叶

由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院
频域连续傅里叶

由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院
时域傅里叶级数

由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院
频域傅里叶级数

傅里叶叔叔发现任何周期函数都是可以用正弦函数和余弦函数的无穷级数来表示的,小组组长@斟理 有一篇帖子《动画图解傅里叶变换》里面的两个GIF图可以很形象地说明这一点:
由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院
由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院
所有的连续信号都可以看做正弦函数和余弦函数的线性叠加,因为它们是连续的,但是如果信号本身不是时间连续的呢?傅里叶叔叔灵光一闪!他发现了离散傅里叶变换(DFT)!
这就是我们要讲的数字信号几大基础变换中最重要的DFT了,不过纵然是灵光一闪,也是从DTFT→DFS→DFT而来的一闪,所以我们先得从DTFT看起。

DTFT
离散时间傅里叶变换(DTFT,Discrete-time Fourier Transform)是傅里叶变换的一种。它将以离散时间(其中,为采样间隔)作为变量的函数(离散时间信号)变换到连续的频域,即产生这个离散时间信号的连续频谱,值得注意的是这一频谱是周期的。
记连续时间信号由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院的采样为

其傅里叶变换为
由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院

这就是采样序列由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院的DTFT:
由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院

为方便起见,通常将采样间隔由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院归一化,则有
上式即为由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院的离散时间傅里叶变换。它的反变换为:
由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院

考虑到DTFT的周期性,它的逆变换实际上是以周期的连续函数作为输入,离散的谱作为输出,这正是傅里叶级数的形式。

(以上来自维基百科离散时间傅里叶变换)

DFS
切记:离散傅里叶级数和连续傅里叶级数是不一样的!
虽然都是级数家族的,但是连续傅里叶级数的输入为非周期信号,离散傅里叶级数是周期信号喔!,
离散傅里叶级数又叫做离散傅里叶序列,是以一段(非周期的离散信号)作为基础信号周期出现的信号,例如:
……(-4,-4,-5,-6,-6,-7,)(-4,-4,-5,-6,-6,-7,)(-4,-4,-5,-6,-6,-7)……

周期为由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院的周期序列{由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院},其离散傅里叶级数为{由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院}:
由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院

DFS的逆变换序列:
由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院
由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院表示对一个周期N内的值求和)
此时输入信号是周期的,输出信号也是周期的。

DFT
倘若我们在时域中将一个有限长信号周期拓展为一个以有限长信号长度作为周期重复的离散序列,并做DFS变换,得到的是一个在频域内也做周期重复的序列,如果此时我们将频域中重复的基础信号段截取下来作为频域输出,则现在拥有了一个离散有限长信号→离散有限长信号 的变换,我们称之为离散傅里叶变换。
离散傅里叶变换是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式,将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。在形式上,变换两端(时域和频域上)的序列是有限长的,而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT,也应当将其看作其周期延拓的变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换计算DFT。
对于由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院点序列由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院,它的离散傅里叶变换为
由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院

离散傅里叶逆变换为
由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院
此时对于任意长的离散有限长信号,我们都能轻松地将它变换到有限长频段内分析,在这一点上同样非常方便在电脑或者其他电子仪器上进行处理。
DFT作为DFS频域上的主值区间,同时在频域上相当于对DTFT在区间上的由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院点均匀采样,这即为我们选用DFT作为主要变换方法的另一个原因,它是几大基础变换沟通的桥梁。
FFT
快速傅里叶变换是在离散傅里叶变换的基础上,广泛利用于数字信号处理方向的快速算法,它将DFT的复杂度由缩减到由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院,面对大数据处理可以极大缩短处理时间。
快速傅里叶变换在这里不再刻意介绍,对数字信号处理感兴趣的人可以自行维基(或者……百度?)。
了解更多
DTFT、DFS、DFT之间有很多有意思的关联,大家可以了解一下Z变换,从另一种变换的角度看待这三种变换的联系。
在此用一个图进行说明:
由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院
DFT就是对Z变换以后的圆、DFS的区间进行由DTFT到FFT[Z] - Hyobo - 瘋人院点抽样。

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